509.斐波那契数

(Updated: )
LeetCode

Q

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给你 n ，请计算 F(n) 。

 

示例 1：

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

A

递归

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2
3
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5
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class Solution {
    public int fib(int n) {
        return fn(n);
    }
    public int fn(int n){
        //最基础值，递归的终点
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if(n == 1){
            return 1;
        }
        //递归成立的公式
        return fn(n-1)+fn(n-2);
    }
}


  • 时间复杂度
    O(n)

  • 空间复杂度
    O(n)

动态规划

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2
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class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int p = 0, q = 0, r = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            p = q; 
            q = r; 
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
}


  • 思路
    斐波那契数的边界条件是 0F(0)=0 和F(1)=1。当 n>1 时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：
    F(n)=F(n-1)+F(n-2)
    F(n)=F(n−1)+F(n−2)
    由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0) 和 F(1)。
    根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 的实现。由于 F(n) 只和 F(n−1) 与 F(n−2) 有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。如下的代码中给出的就是这种实现。

  • 时间复杂度
    O(N)

  • 空间复杂度
    O(N)